un olympiade vous attends !!!

slt pour tous , alors je poste ma soluc puisque on a aucune tentative ici !!
je vas amorcer par exo 2 :
il suffit de travailler sur l'intervalle [0.pi]
cosx =< 1 <==> sin(cosx) =< sin1
sinx =<1 <==> cos(sinx) =< 1
on sommant les deux inegalites ==> sin(cosx) + cos(sinx) =< 1 + sin 1
donc 1+sin1 est la max valeur du sin(cosx)+cos(sinx)

pour le dernier exo je propse cette soluution
demonstration :
ici on forme des sous ensembles Ei à partir de A . la question c'est combien d'ensemble on peut former tel que l'intersection de tous les sous ensemble deux par deux contient 2004 element .
on sait que pour tous ensemble E et F distinct : Card E > Card E∩F
alors pour tout les sous ensemble Ei on a : Card Ei > 2004
et puisque : Card A = 2006 alors : Card Ei = 2006 <==> Ei = A ( Card Ei = Card A et Ei est inclu dans A )
donc Card Ei < 2006
alors d'après les deux résultats en gras on deduit que : Card Ei = 2005
donc il s'agit de former des ensembles de 2005 element à partir de 2006 element
alors le nombre des sous ensemble qui réalisent les conditions est :
C (2005 ,2006) = 2006 ! /[ 2005 ! * (2006 - 2005)! ] = 2006! / 2005! = 2006
alors le nombre des sous ensembles est : 2006
C (2005 ,2006) = la combinaison

pour le 2eme exo il suffit de considerr une fonction f(x)=sin(cosx)+cos(sinx) .
f est paire et periodique de periode 2pi.
demontrer que f est decroissante sur [0,pi/2] donc la valeur maximale sur cet intervalle là est f(0) ,
puis demontrer que pour tout x de [pi/2,pi] f(x)<1<1+sin1=f(0) , donc f(0) est maximale sur [0,pi]... apres on peut generaliser