Joli exo de dénombrement!!

Bsr tout le monde;
soit p£[0;n]
1-prouver que:
c(p;p)+c(p;p+1)+...+c(p;n)=c(p+1;n+1)
2-en déduire les deux valeurs:
segma(n;k=1){ k}; et segma(n;k=1) {k²}
3-en déduire :S=1+3+5+...+2p+1
4-prouver que:
segma(n;k=p) {k*C(p-1;k-1)}=p* C(p+1;n+1)
enjoy

slt a tous , en remerciant admin girl pour ce exo
pour nous on a pas encore etudier le denombrement dans la classe, mais je vais essayer !!:
1 (avec reccurence)
pour n=0 , alors p=0( p£[0,n] ) , on aurait C(0,0)=C(0+1,0+1) =1 ce qui est effectivement vrais .
alors supposons queC(p,p)+C(p,p+1)+.........+C(p,n)=C(p+1,n+1), et prouvons que :
C(p,p)+C(p,p+1)+.......+C(p,n+1)=C(p+1,n+2)
puisque on a C(p,p)+C(p,p+1)+.......+C(p,n+1)=C(p,p)+C(p,p+1)+........+C(p,n)+C(p,n+1)=C(n+1,p+1)+
C(p,n+1) = C(p+1,n+2) (car C(n,k)= C(k-1,n-1) + C(k,n-1) est ce qui est facile de prouver)
d'ou la conclusion ....

Salut Admin;
Bravooo!! ta 1ere reponse est juste ^^.
et les autres membres,où sont-ils??!
j'attends vos participation.